A Harfi Ansiklopedi Nedir?

AKSİYOMATİK

Aksiyom ile bağlantılı.

Bir matematik dalının düzenli bir şekilde açıklanabilmesi için yapılan analitik ön çalışma. (Aksiyomatik’in gayesi, falası ve eksiği olmadan bütün temel kavramları ortaya koymaktır.)

Aksiyomatik yöntem; Verilen bir kuramı aksiyomatik sistem biçimine koyma yöntemi.

Aksiyomatik sistem, Temel terim ve temel önermelerden (aksiyomlardan) başlayarak kurulan, tanım ve kanıtlama kurallarının yardımı ile geliştirilen ve belirleyici niteliği sembolleştirme ve formalizasyon olan tümdengelimli bir kuramın tamamlanmış durumudur. Bu kuram şunları içine alır: 1- Normal yorumlu dizimsel bir sistem olan temel bir mantık sistemi. 2- Göz önünde bulundurulan kurama özgü olan özel kısım. Bu son kısım, gerçek anlamı ile aksiyomatik sistemdir. Genellikle ilk değişmezler ile sistemi başlatan ek tezlerden (aksiyomlar) kuruludur. Başlıca askiyomatikler arasında, Zermelo’nun bütünler kuramı, Paeno’nun aritmetiği ve Eukleides geometrisi için Hilbert’in kurduğu aksiyomatik sistem gösterilebilir. Bu sonuncusu temel bir sistem olarak, kendine aritmetik ile bütünler kuramını taşır. Özel kısmı, çeşitli ilk değişmezleri (mesela, nokta çizgi vb.) ve altı grup aksiyomu içine alır.

Aksiyomatik yöntem, bir kurama, kesinlik, nesnellik, genellik ve dikkate değer bir verimlilik sağlar. Matematiksel kuramların aksiyomatik sisteme göre düzenlenmesi birkaç merhalede gerçekleşir.

1 Sezgisel aksiyomatik; Kavramlarla, bundan sonraki önermelerin çıkarabileceği temel önermeler bir yana ayrılır. Ancak kavramlar sezgisel, temel önermeler de apaçık biçimde verilmiş olarak ele alınır. Tümdengelim yolları günlük konuşma dil mantığının aynıdır. Bunun bir örneği Eukleides’in öğeleridir.

2 Soyut aksiyomatik, Temel kavramların içeriği belirlenmiştir. Yalnız açıkça önerilen bazı özellikler ele alınır. Böylece, bu kavramlar bir çeşit belirsizliğe bürünür ve aksiyomları doğrulayabilen bütün nesnelere uygulanabilecekleri kabul edilir (Aksiyomatik bir sistemle, geçerli yorumları arasındaki ayırım da burada ortaya çıkar). Örnek olarak Hilbert’in Eukleides geometrisini aksiyom düzenine sokması gösterilebilir.

3 Formel aksiyomatik; Kavramların anlamı, baştanbaşa aksiyomların kendi aralarında kurduğu bağıntılara sağlanır. Fakat bunlar, bir formüle bağlanırken, anlamları sezgi ile çıkarılan günlük konuşma deyimlerine başvurulur. Dolayısı ile de bu dönemde temel mantık değil, kuramın özel kısmı formalizasyona uğrar. Örnek olarak Paeno aritmetiğinin aksiyomlaştırılması gösterilebilir.

4 Aksiyomatik sistem; Bunun örneği, Bourbaki’nin matematik ile ilgili çalışmasıdır.

Son olarak, soyut ve formel aksiyomatiklere, çoğu zaman naivaksiyomatikler denir.

Aksiyomatik yöntem, gerek daha sağlam olarak birtakım kuramlar (aritmetik, mantık gib,) kurmak isteğinden, gerekse belli ‘’apaçıklardan’’ (Eukleides’in postulatı gibi) vaz geçmekle bir mantık çelişmesi olmayacağı (Lobaçevski’nin geometrisi) gerçeğinden doğmuştur. Aksiyomatik yöntemin geometriye uygulanması ilkin 1882’de Pasch, aritmetiğe uygulanması 1889’da Peano, mantığa uygulanması da 1879’da Frege tarafından gerçekleştirildi.

Yorum Ekle

Click here to post a comment